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一個故事講完CPU的工作原理

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上二年級的小明正坐在教室里?,F在是數學課,下午第一節,窗外的蟬鳴、緩緩旋轉的吊扇讓同學們昏昏欲睡。此時,劉老師在黑板上寫下一個問題:

6324 + 244675 = ?

小明抬頭看了一眼,覺得這兩個數字挺眼熟。他昨天翹課去網吧了,因此錯過了劉老師講的豎式計算加法。

“同學們算一算這道題?!眲⒗蠋熀吞@可親地說道。

小明盯著黑板懵逼。

小學二年級的他面對這樣一道世界級難題,束手無策。小明伸出了自己的左手,打算用一個古老而深邃的方法–掰手指–嘗試一下。

小明發現他的每只手只能輸入0-5中的正整數,和的范圍僅限于0-10,離6324還十分遙遠。

“慢著!”小明看向了自己的左手。他發現,事情有一點不對勁。

我們也來看看小明的左手。這只左手有5根手指,我們把5根手指都伸開來記為11111,5根手指握拳記為00000,手背面向我們,左手小指是第一個1/0。

小明緊緊地握拳,然后伸出大拇指,此時的左手為00001?!叭绻?,”小明想,“這樣是1”。

他縮回拇指,伸出食指,此時的左手為00010;“這樣是2”。

他又伸出拇指,此時的左手為00011;“那么這樣是3”。

他縮回拇指和食指,伸出中指,此時的左手為對著自己豎中指00100;“這樣就是4!”

…..小明的左手飛速運動著,直到五根手指都伸直,像是鋼鐵俠射了一發掌心炮11111;“這樣就是31!一只手可以表示0-31中的任意正整數!”

小明為自己的發現感到激動??伤恢涝趺幢硎炯臃?。

小明的同桌,英語課代表小紅,看他擺弄了半天左手,忍不住問他在干什么。小明解釋了他的發現。小紅聽了小明的一番高論,若有所思,提筆在數學書的封底畫了一個表格:

小紅畫的表格

“如果我們能造一個機器,給它三個輸入,它能返回兩個結果,那我們就能算出這道題!”小紅激動地說。

“啥叫進位啊美女?”小明問道。

“就是你列豎式的時候畫的一小撇”,小紅回答。

“獵術士是什么,我知道獵魔人和古爾丹?!?/p>

小紅于是講解了一下怎么列豎式計算十進制加法?!拔叶??!?/p>

小明說著,拿過小紅的數學書,補全了表格:

小明試著補全表格

“是這樣嗎?”小明問小紅。

小紅拿過來看了看,說:“最后一行寫錯了,輸出結果應該是1。你想啊,1+1+1應該等于11,左邊這一位是輸出進位,右邊這一位是輸出結果,都是1,所以輸出結果應該是1?!?/p>

“噢?!毙∶饔帜眠^書來,拿起橡皮鉛筆改正:

小明改好了

“那為什么這個機器能算加法?我還是不懂?!毙∶鲉?。

“假設我們已經造出來了這么個機器,長這樣”小紅繼續在封底上畫著:

小紅畫的機器

“等會等會,怎么變成英文了,我英語不好?!毙∶鹘械?。

“hmmm看來你沒讀雙語幼兒園。左邊這三個是輸入,右邊是輸出,C是進位,C-in是輸入進位,C-out是輸出進位,Sum是和的意思,明白了么?”小紅解釋道。

“噢好?!?/p>

“假設我們已經造出來了這么個機器,造了好幾個,我們這么連起來…誒紙不夠大,我寫不下了?!?/p>

小明一聽,趕緊從書桌膛里翻出來一本草稿紙,生怕同桌變成費馬。

“謝謝。先這么連起來:”

小紅畫圖中

“哦哦哦我懂了,A和B就是兩只手,最右邊這個one-bit-adder計算的是最小位數的和!”小明說道。

“正確!”

“你這樣連的話,是說最小位的輸出進位就是下一位的輸入進位,下一位的輸出又是下下一位的輸入!天啊,這跟列豎式好像?!毙∶黧@叫。

“Absolutely!”小紅回答道。

小明又拿過草稿紙,接著畫起來:

小明畫圖中

“把對應的每一位連到每一個adder里…”小明念念有詞,“…再匯總一下輸出”:

小明畫的加法器

“成了!這個東西可以算兩只手加法的結果!”小明高興極了。

“可是離6324和244675還是太遠了,輸入5位遠遠不夠呀?!毙〖t皺了皺眉頭。

“不不不!你在掰手指的時候有沒有發現,每多一根指頭,能表示的數就會多出來一大堆,我覺得只要加那么十幾個就夠了!1根指頭能表示2個數(0,1),2根指頭四個數(0,1,2,3),3根8個…”

“是2的倍數!”小紅接道,“小明,我覺得你的這個記數方法很有意思,要不叫小明式吧!”小紅凝望小明的目光中有了一絲羞澀。

“二進制?!?/p>

身后忽然傳來低沉的聲音。兩人同時回頭,發現數學課代表小剛正直勾勾地盯著那張草稿紙。他好像已聆聽多時了。

“叫二進制吧,我看藍貓淘氣三千問講過這個,一模一樣,藍貓說這是二進制?!毙傃a充道。

小剛的數學成績是班里最好的,一進學而思就上的超常班。小紅只能上尖子班,小明一般去網吧。

“那就叫二進制吧?!毙∶髡f。

他和小紅轉過身來,老師讓小組討論的時候他們就這么坐。

小剛又道:“可是,怎么造出這個one-bit-adder呢?”他的眉頭皺成一團,眼鏡片看起來更厚了。

小明和小紅也陷入了沉默,三人一籌莫展,陷入僵局。這時,小剛的同桌,物理課代表小蘭入局。

她忽然說道:“我聽物理辦公室的陳老師吹牛,他當年在大學里讀電子工程,GPA一直是4.3,用實驗室的導線開關和小燈泡就能造一個32位的加法器,不知道是怎么做到的。他還說什么與門是and,或門是or,再加一個非門not,用它們表示邏輯,就能造出世間千千萬萬的計算機?!?/p>

小明聽迷糊了,“等會等會,什么門?金拱門?”另兩人也露出迷茫的表情。

小蘭從桌子里掏出一個黑盒子?!斑@是下節課要用的教具,陳老師讓我先拿著?!?/p>

她打開盒子,取出三個零件和一個說明書。

“喏,你們看看這個”,她拿起第一個零件,“這個叫與門,有兩個輸入和一個輸出。如果我們把輸出連上小燈泡,接上電源,兩個輸入分別連上開關,那么是這么個情況:”

小蘭畫的表格

“就是說,只有兩個開關都閉合了,小燈泡才亮,有點像串聯電路?!毙√m補充道。

“誒,有意思了…”小剛扶了扶眼鏡,似乎打算說什么,大家都看向他。

“沒,沒什么,我還在想,小蘭你接著說?!?/p>

“那好?!毙√m接著拿起第二塊零件?!斑@個叫或門,有一個開關開著燈泡就會亮…”

“等下!”小剛忽然打斷,拿起筆在自己的白紙上畫起來:

小剛畫的表格

“是不是這樣!”小剛激動地說,“如果0是關1是開,0是滅1是亮的話,或門的輸入輸出是不是這樣?”

小蘭看了看道:“正是”。

她拿起第三個零件,“最后這個叫非門,只有一個輸入,一個輸出。它會輸出一個相反的結果:輸入有電流,輸出就沒有;輸入沒有電流,輸出就有電流。用小剛的話來說,輸入0輸出則為1,輸入1輸出則為0。太簡單了,懶得畫表了?!?/p>

小蘭把非門放在桌上。小剛說道:“這三個門可以表示三種邏輯。如果A、B是輸入,  A or B 就是經過或門的結果,  A and B就是經過與門的結果,  not A 則是A經過非門的結果?!?/p>

三人紛紛點頭?!翱墒?,這和加法有什么關系呢?”小明問道。

四人再度陷入沉默。

沉默。

忽然,小明拿起筆,一邊畫一邊說道:“如果我們回去看小紅畫的表格,”

左三列是輸入,右二列是輸出

“Sum可以寫成A、B、Cin的邏輯關系!”

“你們看,把 A and B 記作 AB,A or B 記作 A + B,not A 記作 A 上面畫個橫線。Sum 輸出為1只出現在表格的2、3、5、8行,也就是三個輸入中1的個數為奇數的時候。我們把這4種情況記下來,那么這個式子…”

“可以拿邏輯門實現?。?!”四人異口同聲的叫道。

小紅搶過草稿紙,又看了看物理教具的說明書,邊畫邊說了起來:“說明書上寫,這個火車頭形狀的符號表示 and gate;這個B2轟炸機形狀的是or gate;這個小人形狀的是not gate…”

小紅畫的與門,或門,非門

她又看了一眼小明的式子,說道:“這個式子的第一項可以這樣…”

小紅畫的輸出和的第一項

“你們看你們看,這個不就是

嘛!”小紅自豪地說。

小明補全了電路:

“先把與門都畫了”

“再把或門都加上,搞定。這東西可以算出Sum了,接下來用一樣的辦法把C-out弄出來?!毙∶鳒蕚淅^續畫。

“你們看,這里還有幾個零件?!毙√m指著說明書說道:

與非,或非,異或,同或

“與非門:一個與門的輸出和一個非門相連,英文是not and,NAND gate。那個小圈圈代表一個非門。

或非門是或門 + 非門,not or,NOR gate。

第三個叫異或門,只有兩個輸入中一個為1一個不為1時,才會輸出1,exclusive-or,XOR gate。

第四個是同或門,也就是一個異或門加上一個非門?!?/p>

“啊哈!”小剛靈機一動,抓起筆來道:“我有一個絕妙的點子?!?/p>

小剛簡化后的電路

“小明的方案,要用17個門。我只要2個異或門就搞定了,牛逼吧?”

三人瞪大了眼睛,仔細思考后紛紛點頭道:“牛逼,牛逼?!?/p>

小剛隨機畫出了完整的one-bit-adder電路:

小剛的one-bit-adder

小明從從教具盒里拿出電源、小燈泡、開關和邏輯門,按照設計圖制作出了全加器:

看到小剛的設計被完整的實現,小明欣喜:“啊哈哈哈,吾有上將小剛,則霸業可成,漢室可興??!”

他把黑盒子里的零件全拿了出來,四人忙碌地工作著。很快,他們擁有了5個全加器,基于小紅的設計連了起來:

小紅設計實現

“二進制的01100等于十進制的12,01010等于10,12+10=22,等于16+4+2,也就是二進制的10110…”

四人人往代表輸出結果的5個小燈泡望去:亮,滅,亮,亮,滅;正是10110!

“成了?。?!”

大家激動的拍打課桌為了計算黑板上那道題,四人一共制作了32個一位全加器,將它們連接后,一個三十二位加法器便誕生了。

他們歷經艱辛,踩著自然規律和人類智慧的肩膀,把自己從枯燥的加法計算中解放出來!

窗外的蟬鳴漸漸平息,頭頂的吊扇不再轉動。

“劉老師,答案是250999!”小明站了起來,聲若洪鐘大呂,震懾天地。

他和小紅、小剛、小蘭分別對視了一眼,收獲了堅定的目光。

這目光,連同面前的32位加法器,如同新的轉機和閃閃星斗,正在綴滿沒有遮攔的天空。

劉老師點了點頭,欣慰的說道:“很好,看來四位同學對這部分知識掌握的不錯!我們再來看幾道題!”

他轉過身,拿起板擦,把黑板擦了個精光,又從黑板槽里拾起半截粉筆,寫了起來: 

1. 244675 – 6324 = ? 

2. 3.14159 + 5.535897 = ? 

3. 17 * 45 = ? 

4. 3 / 2 = ?

一連四道題,讓四人組陷入了深思:如何讓自己的機器運算減法?乘法?除法?浮點數?

劉老師并沒有停下,手中的粉筆運動得越來越快:

5. Fibonacci 數列的第103項?

6. 一圈共有N個人,開始報數,報到M的人出列,然后重新開始報數,問最后出列的人是誰?.

…..

疑惑越來越多了:如何存儲?怎樣實現分支?保證效率?

劉老師仍未停下,黑板快被寫滿了:

103. 方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上嗎?

104. 大于2的偶數都可以寫成兩個質數的和嗎?

……

134. 生命,宇宙及所有事物的答案?

劉老師放下了粉筆,半截粉筆已經變成硬幣的厚度。

“這些問題,我們能造個機器回答么?”小明撐著頭,喃喃自語。

來源:知乎(已獲授權,鏈接見閱讀原文)

作者:柳兩叢 

https://www.zhihu.com/question/40571490/answer/71894264

我還沒有學會寫個人說明!

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